Professor Veski sündis 10. jaanuaril1950. Alates 2008. aastast töötas ta Tartu Ülikooli arstiteaduskonnas farmaatsia instituudis ravimite tehnoloogia ja biofarmaatsia õppetoolis ravimite tehnoloogia ja biofarmaatsia professorina.
Veski omandas hariduse Semmelweisi Ülikoolis Budapestis, kus ta lõpetanud 1975. aastal proviisoriõppe. Doktoritööd kaitses Peep Veski kahel korral. Aastal 1980 Ungari Teaduste Akadeemias ja aastal 1994 Helsingi Ülikoolis.